Spadek swobodny
Rzut pionowy w górę
Rzut pionowy w dół
Rzut poziomy
Rzut ukośny


Spadek swobodny

Jest to ruch jednostajnie przyśpieszony bez prędkości początkowej z przyśpieszeniem ziemskim g.


Rys. 1

Rys. 2
Prędkość ciała po określonym czasie wyraża wzór v=gt, drogę jaką przebywa ciało wzór: h=gt2/2, a odległość od początku układu (właściwie początku osi Y tego układu, oś X nas nie interesuje bo ruch zachodzi w pionie)
y(t)=h1-gt2/2

Rzut pionowy w górę

Rzut pionowy w górę jest ruchem jednostajnie opóźnionym z prędkością początkową v0, opóźnienie w tym ruchu wynosi g=9,81m/s2- przyśpieszenie ziemskie. Wysokość jaką ciało osiąga wyraża wzór h=v0t-gt2/2, a prędkość po określonym czasie wzór vk=v0-gt (vk-prędkość końcowa, v0- prędkość początkowa. Wykorzystując oba te wzory jesteśmy w stanie wyprowadzić wzór na maksymalną wysokość na jaką wzniesie się ciało. I tak wiedząc, że na maksymalnej wysokości ciało będzie miało prędkość końcową równą 0, to:

vk=v0-gt
0=v0-gt /po przekształceniu/
t=v0/g

Skoro w tym czasie ciało osiągnie prędkość równa zero to w tym czasie osiągnie ono maksymalną wysokość. Dlatego podstawiając powyższy wzór na czas w miejsce t we wzorze na wysokość, jaką ciało osiąga, otrzymamy wzór na wysokość maksymalną.

hmax=v0t - gt2/2
hmax=v0(v0/g) - g(v0/g)2/2
hmax=v02/g - v02/2g
hmax=2v02/2g - v02/2g

Otrzymujemy wzór końcowy na wysokość maksymalną ciała w rzucie pionowym w górę:


Rzut pionowy w dół

Rzut pionowy w górę jest ruchem jednostajnie przyśpieszonym z prędkością początkową- v0, ruch odbywa się jak sama nazwa wskazuje w pionie,a przyśpieszeniem jest przyśpieszenie ziemskie g. Prędkość po określonym czasie wyraża wzór vk=v0+gt, natomiast wzór na drogę przebytą przez ciało (w pionie) oraz odległość od początku układu (np. powierzchni Ziemi) zależy od wybranego przez nas układu odniesienia. Zajmijmy się najpierw układem przedstawionym na rys. 1.

Ciało znajduje się w początku osi Y (czyli pionowej osi). Czerwony wektor wskazuje kierunek działania przyśpieszenia ziemskiego g=9,81m/s2. Odległość od początku układu jest równa drodzę jaką to ciało przebywa (y(t)=h) i opisuje je wzór: h=v0t+at2/2.

Przejdźmy teraz do drugiego układu (rys. 2),w którym ciało znajduje się względem niego na wysokości h1, wzór na drogę jaką pokonuje ciało to: h=v0t+at2/2, a odległość od początku układu (dokładniej początku osi Y, bo tylko ona nas interesuje w tym ruchu)
y(t)=h1-v0t-at2/2


rys. 1

rys. 2

Rzut poziomy

Rzut poziomy jest ruchem, który traktujemy jako złożenie dwóch ruchów (podobnie jak rzut ukośny):
  • w pionie- ruch jednostajnie przyśpieszony z prędkością początkową równą 0 (ponieważ na początku ruchu jest tylko składowa v0 działająca w poziomie!), czyli spadek swobodny.
  • w poziomie- ruch jednostajny, w którym prędkość (składowa v1) jest w każdej chwili równa prędkości początkowej v0

Zajmijmy się najpierw ruchem jaki zachodzi w pionie (składowa v2), jak wcześniej wspomniałem jest to spadek swobodny (ruch jednostajnie przyśpieszony z przyśpieszeniem ziemskim g=9,81m/s), a więc prędkość początkowa w tym ruchu jest równa 0, dlatego znając wysokość z jakiej rzucono ciało, na podstawie wzoru h=gt2/2, możemy wyznaczyć czas, po którym ciało spadnie na ziemię:

A skoro w tym czasie ciało spadnie na ziemię to w tym czasie osiągnie również maksymalną odległość- zasięg rzutu. Jeżeli w poziomie odbywa się ruch jednostajny, ze stałą prędkością równą wartości prędkości początkowej (v0=v1) to wykorzystując wzór na drogę w tym ruchu s=vt i za czas podstawiając wcześniej przekształcony wzór, otrzymujemy wzór na zasięg rzutu poziomego (v=v0):

W każdej chwili jesteśmy w stanie obliczyć odległość od początku układu odniesienia, prędkość ciała oraz przyśpieszenie, i tak:
  • r=[v0;h-gt2/2]
  • v=[v0;gt]
  • a=[0;g]

Jesteśmy także w stanie wyznaczyć wartość prędkości v0 w każdym momencie ruchu.(rys. 2)
rys. 2
Aby to zrobić zastosujemy twierdzenie Pitagorasa:

Po przekształceniach otrzymujemy:

Jak wiemy prędkość v2 możemy wyliczyć ze wzoru v2=v2p+gt (v2- wartość prędkości po czasie t, v2p- wartość składowej v2 na początku ruchu, czyli 0. I tak v2=gt, podstawiając do wcześniejszego wzoru otrzymujemy:

A podstawiając w miejsce czasu wcześniej wyliczony wzór , otrzymamy:


Rzut ukośny

Z rzutem ukośnym spotykamy się rzucając kamieniem, czy kopiąc piłkę. Traktujemy go jako złożenie dwóch ruchów:
- jednostajnego- w poziomie
- jednostajnie opóźnionego (rzut pionowy)- w pionie


Wektor v0 jest wektorem wypadkowym wektora v1 oraz v2. W poziomie odbywa się ruch jednostajny, prędkość w tym ruchu jest stała w każdej sekundzie tego ruchu i jest wyrażona wzorem v2=s/t, natomiast w pionie ruch jednostajnie opóźniony z prędkością początkową v1 i z opóźnieniem g (przyśpieszenie ziemskie) równym w przybliżeniu 9,81m/s2, czyli po prostu jest to rzut pionowy, prędkość ciała w tym ruchu wyraża wzór vk=v1-gt, gdzie vk- jest prędkością końcową, t- to czas. Drogę (w pionie) jaką przebywa to ciało wzór h=v1t-gt2/2. Tak, więc możemy w każdej chwili obliczyć położenie, prędkość oraz przyśpieszenie ciała stosując równania, utworzone z powyższych wzorów:

  • przemieszczenie
  • prędkość
  • przyśpieszenie
Jeżeli dysponujemy wartością kąta, pod jakim rzucono ciało oraz prędkością v0, możemy obliczyć prędkości składowe, stosując funkcje trygonometryczne:
  • sina=v1/v0
  • cosa=v2/v0

Przyjrzyjmy się teraz momentowi, gdy ciało osiąga maksymalną wysokość jak widać na powyższym rysunku prędkość v1 osiągnęła wartość 0. Wyprowadźmy teraz wzór, dzięki któremu obliczymy maksymalną wysokość, na jaką wzniesie się ciało w rzucie ukośnym, aby to zrobić należy zająć się ruchem w pionie, czyli rzutem pionowym (składowa v1), nie interesuje nas ruch poziomy (składowa v2). Wzór na prędkość końcową w rzucie pionowym to: vk= v1- gt wiemy, że w chwili osiągnięcia maksymalnej wysokości, wartość składowej v1=0, a więc: 0= v1- gt po przekształceniu wzoru otrzymujemy: t=v1/g jest to czas, po którym ciało osiągnie maksymalną wysokość. Następnie wzór na wysokość w rzucie pionowym: h=v1t-gt2/2, za t podstawiamy wcześniej otrzymany wzór na czas, po którym ciało osiągnie maksymalną wysokość, dzięki czemu obliczana przez nas wysokość będzie wysokością maksymalną, na jaką wzniesie się ciało. I tak, po przekształceniach, otrzymujemy:

jednak wzór na wysokość maksymalną, w którym musielibyśmy znać składową v1 jest niewygodny, najczęściej w zadaniach dysponujemy prędkością v0 oraz kątem pod jakim rzucono ciało, dlatego w miejsce v1 wstawiamy wzór: v0 sina=v1 , który jest przekształceniem już wcześniej wymienianego wzoru, dzięki temu otrzymujemy:

Zajmijmy się teraz wyprowadzeniem wzoru na zasięg rzutu ukośnego. Pomoże nam w tym poniższy rysunek:

Wiemy, że czas wznoszenia się ciała na maksymalną wysokość jest taki sam jak czas opadania i zgodnie z obliczeniami, które wcześniej wykonaliśmy wyraża go wzór t=v1/g, skoro tak to w tym czasie ciało pokonało połowę maksymalnej drogi w poziomie (s), która jest obliczana ze wzoru s=v2 t, a t wynosi v1/g, czyli:
s=v2v1/g
Zasięg rzutu (z) składa się z dwóch odcinków s, skoro tak to:
z=2v2v1/g
Ale taka forma wzoru na zasięg, w której występują prędkości składowe nie jest wygodna w użyciu, ponieważ, tak jak w przypadku wysokości maksymalnej zazwyczaj dysponujemy prędkością v0 i kątem, pod którym rzucono ciało, dlatego wykorzystamy równości v1= v0 sina oraz v0= v2 cosa
po przekształceniu otrzymujemy właściwy wzór:

© 2002-2008 Copyright by OmikronGroup. All rights reserved.
Typ dokumentu: W3C DTD HTML 4.01 Transitional
Kodowanie polskich znaków: ISO-8859-2
Valid HTML 4.01 Transitional Valid CSS!