|
Spadek swobodny
Rzut pionowy w górę
Rzut pionowy w dół
Rzut poziomy
Rzut ukośny
Spadek swobodny
Jest to ruch jednostajnie przyśpieszony bez prędkości początkowej z przyśpieszeniem ziemskim g.
Rys. 1 |
Rys. 2 |
Prędkość ciała po określonym czasie wyraża wzór v=gt, drogę jaką przebywa ciało wzór: h=gt2/2, a
odległość od początku układu (właściwie początku osi Y tego układu, oś X nas nie interesuje bo ruch zachodzi w pionie)
y(t)=h1-gt2/2
|
Rzut pionowy w górę
Rzut pionowy w górę jest ruchem jednostajnie opóźnionym z prędkością początkową v0,
opóźnienie w tym ruchu wynosi g=9,81m/s2- przyśpieszenie ziemskie. Wysokość jaką ciało
osiąga wyraża wzór h=v0t-gt2/2, a prędkość po określonym czasie wzór
vk=v0-gt (vk-prędkość końcowa, v0- prędkość początkowa. Wykorzystując oba te wzory jesteśmy w stanie wyprowadzić wzór na
maksymalną wysokość na jaką wzniesie się ciało. I tak wiedząc, że na maksymalnej wysokości ciało będzie miało prędkość końcową
równą 0, to:
 |
vk=v0-gt
0=v0-gt /po przekształceniu/
t=v0/g
Skoro w tym czasie ciało osiągnie prędkość równa zero to w tym czasie osiągnie ono maksymalną wysokość.
Dlatego podstawiając powyższy wzór na czas w miejsce t we wzorze na wysokość, jaką ciało osiąga, otrzymamy wzór
na wysokość maksymalną.
hmax=v0t - gt2/2
hmax=v0(v0/g) - g(v0/g)2/2
hmax=v02/g - v02/2g
hmax=2v02/2g - v02/2g
Otrzymujemy wzór końcowy na wysokość maksymalną ciała w rzucie pionowym w górę:
|
Rzut pionowy w dół
Rzut pionowy w górę jest ruchem jednostajnie przyśpieszonym z prędkością początkową-
v0, ruch odbywa się jak sama nazwa wskazuje w pionie,a przyśpieszeniem jest
przyśpieszenie ziemskie g. Prędkość po określonym czasie wyraża wzór vk=v0+gt, natomiast wzór na
drogę przebytą przez ciało (w pionie) oraz odległość od początku układu (np. powierzchni Ziemi)
zależy od wybranego przez nas układu odniesienia.
Zajmijmy się najpierw układem przedstawionym na rys. 1.
| Ciało znajduje się w początku osi Y (czyli pionowej osi).
Czerwony wektor wskazuje kierunek działania przyśpieszenia ziemskiego g=9,81m/s2.
Odległość od początku układu jest równa drodzę jaką to ciało przebywa (y(t)=h) i opisuje je wzór:
h=v0t+at2/2. Przejdźmy teraz do drugiego układu (rys. 2),w
którym ciało znajduje się względem niego na wysokości h1, wzór na drogę jaką
pokonuje ciało to: h=v0t+at2/2, a odległość od początku układu (dokładniej
początku osi Y, bo tylko ona nas interesuje w tym ruchu)
y(t)=h1-v0t-at2/2
|
rys. 1 |
rys. 2 |
Rzut poziomy
Rzut poziomy jest ruchem, który traktujemy jako złożenie dwóch ruchów (podobnie jak rzut ukośny):
- w pionie- ruch jednostajnie przyśpieszony z prędkością początkową równą 0 (ponieważ na początku ruchu
jest tylko składowa v0 działająca w poziomie!), czyli spadek swobodny.
- w poziomie- ruch jednostajny, w którym prędkość (składowa v1) jest w każdej chwili równa
prędkości początkowej v0
Zajmijmy się najpierw ruchem jaki zachodzi w pionie (składowa v2), jak wcześniej
wspomniałem jest to spadek swobodny (ruch jednostajnie przyśpieszony z przyśpieszeniem ziemskim
g=9,81m/s), a więc prędkość początkowa w tym ruchu jest równa 0, dlatego znając wysokość z
jakiej rzucono ciało, na podstawie wzoru h=gt2/2, możemy wyznaczyć czas, po którym
ciało spadnie na ziemię:
A skoro w tym czasie ciało spadnie na ziemię to w tym czasie osiągnie również maksymalną odległość-
zasięg rzutu. Jeżeli w poziomie odbywa się ruch jednostajny, ze stałą prędkością równą wartości
prędkości początkowej (v0=v1) to wykorzystując wzór na drogę w tym ruchu
s=vt i za czas podstawiając wcześniej przekształcony wzór, otrzymujemy wzór na zasięg rzutu poziomego (v=v0):
W każdej chwili jesteśmy w stanie obliczyć odległość od początku
układu odniesienia, prędkość ciała oraz przyśpieszenie, i tak:
- r=[v0;h-gt2/2]
- v=[v0;gt]
- a=[0;g]
Jesteśmy także w stanie wyznaczyć wartość prędkości v0 w
każdym momencie ruchu.(rys. 2)
 rys. 2
Aby to zrobić zastosujemy twierdzenie Pitagorasa:
Po przekształceniach otrzymujemy:
Jak wiemy prędkość v2 możemy wyliczyć ze wzoru v2=v2p+gt
(v2- wartość prędkości po czasie t, v2p- wartość składowej v2
na początku ruchu, czyli 0. I tak v2=gt, podstawiając do wcześniejszego wzoru otrzymujemy:
A podstawiając w miejsce czasu wcześniej
wyliczony wzór , otrzymamy:
Rzut ukośny
Z rzutem ukośnym spotykamy się rzucając kamieniem, czy kopiąc piłkę. Traktujemy go jako
złożenie dwóch ruchów:
- jednostajnego- w poziomie
- jednostajnie opóźnionego (rzut pionowy)- w pionie
Wektor v0 jest wektorem wypadkowym wektora v1 oraz v2. W
poziomie
odbywa się ruch jednostajny, prędkość w tym ruchu jest stała w każdej
sekundzie tego ruchu i jest wyrażona wzorem v2=s/t, natomiast w pionie
ruch jednostajnie opóźniony z prędkością początkową v1 i z
opóźnieniem g (przyśpieszenie ziemskie) równym w przybliżeniu 9,81m/s2,
czyli po prostu jest to rzut pionowy, prędkość ciała w tym ruchu
wyraża wzór vk=v1-gt, gdzie vk- jest prędkością końcową, t- to
czas.
Drogę (w pionie) jaką przebywa to ciało wzór h=v1t-gt2/2.
Tak, więc możemy w każdej chwili obliczyć położenie, prędkość oraz
przyśpieszenie ciała stosując równania, utworzone z powyższych wzorów:
- przemieszczenie
- prędkość
- przyśpieszenie
Jeżeli dysponujemy wartością kąta, pod jakim rzucono ciało oraz prędkością v0, możemy
obliczyć prędkości składowe, stosując funkcje trygonometryczne:
Przyjrzyjmy się teraz momentowi, gdy ciało osiąga maksymalną wysokość jak widać na powyższym
rysunku prędkość v1 osiągnęła wartość 0. Wyprowadźmy teraz wzór, dzięki któremu obliczymy
maksymalną wysokość, na jaką wzniesie się ciało w rzucie ukośnym, aby to zrobić należy zająć
się ruchem w pionie, czyli rzutem pionowym (składowa v1), nie interesuje nas ruch poziomy (składowa v2). Wzór na
prędkość końcową w rzucie pionowym to:
vk= v1- gt
wiemy, że w chwili osiągnięcia maksymalnej wysokości, wartość składowej v1=0, a więc:
0= v1- gt
po przekształceniu wzoru otrzymujemy:
t=v1/g
jest to czas, po którym ciało osiągnie maksymalną wysokość. Następnie wzór na wysokość w rzucie pionowym:
h=v1t-gt2/2, za t podstawiamy wcześniej otrzymany wzór na czas, po którym ciało osiągnie maksymalną
wysokość, dzięki czemu obliczana przez nas wysokość będzie wysokością maksymalną, na jaką
wzniesie się ciało. I tak, po przekształceniach, otrzymujemy:
jednak wzór na wysokość maksymalną, w którym musielibyśmy znać składową v1 jest niewygodny,
najczęściej w zadaniach dysponujemy prędkością v0 oraz kątem pod jakim rzucono ciało, dlatego w
miejsce v1 wstawiamy wzór: v0 sina=v1 , który jest
przekształceniem już wcześniej wymienianego wzoru, dzięki temu otrzymujemy:
Zajmijmy się teraz wyprowadzeniem wzoru na zasięg rzutu ukośnego. Pomoże nam w tym poniższy rysunek:
Wiemy, że czas wznoszenia się ciała na maksymalną wysokość jest taki sam jak czas opadania i
zgodnie z obliczeniami, które wcześniej wykonaliśmy wyraża go wzór t=v1/g, skoro tak to w tym
czasie ciało pokonało połowę maksymalnej drogi w poziomie (s), która jest obliczana ze wzoru
s=v2 t, a t wynosi v1/g, czyli:
s=v2v1/g
Zasięg rzutu (z) składa się z dwóch odcinków s, skoro tak to:
z=2v2v1/g
Ale taka forma wzoru na zasięg, w której występują prędkości składowe nie jest wygodna w użyciu,
ponieważ, tak jak w przypadku wysokości maksymalnej zazwyczaj dysponujemy prędkością v0 i kątem,
pod którym rzucono ciało, dlatego wykorzystamy równości v1= v0 sina
oraz v0= v2 cosa
 po przekształceniu otrzymujemy właściwy wzór:
|
